Question

已知不等式x²+mx＞4x+m-4
（1）若对一切实数x使得不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对于0≤m≤4的所有实数m，不等式恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）中不等式恒成立，需△＜0，解出即可，（2）只需转化表达式为不等式恒成立．

解答： 解：（1）∵x²+mx＞4x+m-4，
∴x²+mx-4x-m+4＞0，
∴△=（m-4）²+4（m-4）＜0，
解得：0＜m＜4．
（2）：x²+mx＞4x+m-4，可整理为（x-1）m+x²-4x+4＞0，
∵对于0≤m≤4的所有实数m，不等式恒成立，
∴有

(x-1)×0+x2-4x+4＞0 (x-1)×4+x2-4x+4＞0

，
即

x2-4x+4＞0 x2＞0

，
解得x≠0，且x≠2，
∴实数x的取值范围为：（-∞，0）∪（0，2）∪（2，+∞）；

点评：本题考查函数恒成立问题、一元二次不等式的解法，考查转化思想、分类讨论思想，考查学生解决问题的能力．