Question

在如图所示的圆柱OO₁中，过轴OO₁作截面ABCD．已知PQ是圆O异于BC的直径．
（Ⅰ）求证：O₁B∥平面DPQ；
（Ⅱ）用平面DPQ截圆柱OO₁的侧面可得到半个椭圆，该半椭圆所在椭圆以PQ为短轴，OD为长半轴，若PQ=2，且椭圆的离心率为

3

2

，试求圆柱OO₁的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结DO，证明O₁B∥DO，通过O₁B?平面DPQ，DO?平面DPQ，即可证明O₁B∥平面DPQ；
（Ⅱ）用平面DPQ截圆柱OO₁的侧面可得到半个椭圆，该半椭圆所在椭圆以PQ为短轴，OD为长半轴，若PQ=2，且椭圆的离心率为

3

2

，求出圆柱的高，即可求圆柱OO₁的体积．

解答： 解：（Ⅰ）连结DO，由题意可得，
O₁D∥BO，且O₁D=BO，∴四边形O₁BOD为平行四边形，
∴O₁B∥DO，
又∵O₁B?平面DPQ，
DO?平面DPQ，
∴O₁B∥平面DPQ．
（Ⅱ）设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，
∵椭圆的离心率为

3

2

．
∴

c

a

=

3

2

∵a²=b²+c²=b²+

3

4

a2，
∴

b

a

=

1

2

∵a=OD，b=OQ，∴

OQ

OD

=

1

2

，
∵直径PQ=2∴OC=OQ=1，∴OD=2，
在Rt△DCO中，可求得母线DC=

3

，
即圆柱OO₁的高h=

3

，
因此，圆柱OO₁的体积V=Sh=

3

π．

点评：本题考查直线与直线，直线与平面的位置关系，圆锥曲线的性质，柱体的体积公式的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力．