Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）=2^x．若对任意的x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f²（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：根据函数为偶函数，求出函数f（x）的表达式，然后将不等式f（x+a）≥f²（x）化简，对a进行讨论，将x解出来，做到参数分离，由恒成立思想，即可求出a的范围．

解答： 解：由题意，f(x)=

2x，(x≥0) ( 1 2 )x，(x＜0)

（4分）
（1）当a≥0时，即有2^x+a≥2^2x，x≤a，不合                        （6分）
（2）当a+2≤0时，即有(

1

2

)x+a≥(

1

2

)2x，x≥a，恒成立，a≤-2符合                 （8分）
（3）当-2＜a＜0时，若x+a＞0，则a+2≥-a，a≥-1由（1）得不合
若x＜0由（2）得成立，则x+a＜0，x＞0时恒成立，即(

1

2

)x+a≥22x，x≤-

a

3

，
∴a+2≤-

a

3

，a≤-

3

2

，∴-2＜a≤-

3

2

（14分）
综上，实数a的取值范围a≤-

3

2

（15分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性及运用，求出函数在定义域上的解析式是解题的关键，考查解决恒成立问题的常用方法：参数分离，必须掌握．