Question

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=2及f（x+1）-f（x）=2x，求：
（1）求f（x）；    
（2）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）中将（0，2）代入解析式求出c=2，再由f（x+1）-f（x）=2x求出a，b即可．
（2）找出对称轴，求出单调区间，从而求出最值．

解答： 解：（1）设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
∵f（0）=1，
∴c=2，
又∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x
∴2ax+a+b+1=2x，
∴a=1，b=-2
∴f（x）=x²-2x+2；
（2）∵f（x）=x²-2x+2
=（x-1）²+1，
∴在[-1，1]为递减，在[1，2]为递增函数．
∴f（x）_max=f（-1）=5，
f（x）_min=f（1）=1．

点评：本题考察了求二次函数的解析式问题，找单调区间，求最值问题，是一道基础题．