Question

在数学中，等与不等是相对的，例如“当a≤b且a≥b时，我们就可以得到a=b”．设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），且满足f（-1）=0，对于任意实数x都有f（x）-x≥0，且当x∈（0，2）时，f（x）≤(

x+1

2

)2．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求证：a＞0，c＞0；
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调的，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,基本不等式

专题：函数的性质及应用

分析：（I）由于对于任意实数x都有f（x）-x≥0，且当x∈（0，2）时，f（x）≤(

x+1

2

)2．可得f（1）≥1，f（1）≤(

1+1

2

)2=1．
（II）由

f(-1)=0 f(1)=1

可得b=a+c=

1

2

．对于任意实数x都有f（x）-x≥0，可得ax2-

1

2

x+c≥0，

a＞0 △= 1 4 -4ac≤0

，即可得出；
（III）由于

1

2

=a+c≥2

ac

≥2

1 16

=

1

2

，可得a=c=

1

4

．可得g（x）=f（x）-mx=

1

4

x2+(

1

2

-m)x+

1

4

，由于当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调的，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： （I）解：∵对于任意实数x都有f（x）-x≥0，且当x∈（0，2）时，f（x）≤(

x+1

2

)2．
∴f（1）≥1，f（1）≤(

1+1

2

)2=1．
∴f（1）=1．
（II）证明：由

f(-1)=0 f(1)=1

可得

a-b+c=0 a+b+c=1

，∴b=a+c=

1

2

．
对于任意实数x都有f（x）-x≥0，即ax²+（b-1）x+c≥0，
∴ax2-

1

2

x+c≥0，∴

a＞0 △= 1 4 -4ac≤0

，
∴a＞0，ac≥

1

16

，∴a＞0，c＞0．
（III）∵

1

2

=a+c≥2

ac

≥2

1 16

=

1

2

，∴a=c=

1

4

．
∴f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

，
∴g（x）=f（x）-mx=

1

4

x2+(

1

2

-m)x+

1

4

，
∴g（x）=

1

4

[x2+(2-4m)x+1]．
又∵当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调的，
∴|

2-4m

2

|≥1，解得m≥1或m≤0．

点评：本题考查了二次函数的单调性、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．