题目内容

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB=2，AC=6，点D在线段BB1上，且BD=
1
3
BB1，A1C∩AC1=E．
（1）求证：直线DE与平面ABC不平行；
（2）设平面ADC1与平面ABC所成的锐二面角为θ，若cosθ=
7
7
，求AA1的长．
考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定
专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）建立坐标系，求出
DE
=（-2，3，
h
6
），平面ABC的法向量为
n1
=（0，0，1），可得
DE
•
n1
=
h
6
≠0，即可证明直线DE与平面ABC不平行；
（2）求出平面ADC1的法向量，利用平面ADC1与平面ABC所成的锐二面角为θ，cosθ=
7
7
，建立方程，即可求得结论．
解答： 解：（1）建立如图所示的坐标系，设AA1=h，则
DE
=（-2，3，
h
6
），平面ABC的法向量为
n1
=（0，0，1），
∵
DE
•
n1
=
h
6
≠0，
∴直线DE与平面ABC不平行；
（2）设平面ADC1的法向量为
n2
=（x，y，z），则
∵
AD
=（2，0，
h
3
），
AC1
=（0，6，h），
∴
2x+
hz
3
=0
6y+hz=0

∴
n2
=（-
h
6
，-
h
6
，1），
∵平面ADC1与平面ABC所成的锐二面角为θ，cosθ=
7
7
，
∴
1
h2
18
+1
=
7
7
，
∴h=6
3
，即AA1=6
3
．
点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查二面角的平面角及求法，正确运用向量法是关键．
练习册系列答案
相关题目
若函数y=
1
3
x3-x2+1（0＜x＜2）的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是（　　）
A、
π
6
B、
3π
4
C、
π
4
D、
5π
6
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=
1
2
AB=1．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角的余弦值；
（Ⅲ）求线BP与面PAC所成角的余弦值．
已知α为锐角，且tanα=
2
-1，函数f（x）=2xtan2α+sin（2α+
π
4
），数列{an}的首项a1=1，an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若数列{bn}满足b1=a1，bn=log2（an+1），设Tn=
1
b1+n
+
1
b2+n
+…+
1
bn+n
，若Tn＞m对n≥2恒成立，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=-x3+x2+b，g（x）=a1nx．
（1）若f(x)在x∈[-
1
2
，1)上的最大值为
3
8
，求实数b的值
（2）若存在x∈[1，e]，使得g（x）≤-x2+（a+2）x成立，求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设F（x）=
f(x)，x＜1
g(x)，x≥1
，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．
如图，三棱锥P-ABC中，D、E分别是△PAB、△PBC的重心．求证：DE∥平面ABC．
在数学中，等与不等是相对的，例如“当a≤b且a≥b时，我们就可以得到a=b”．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），且满足f（-1）=0，对于任意实数x都有f（x）-x≥0，且当x∈（0，2）时，f（x）≤(
x+1
2
)2．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）求证：a＞0，c＞0；
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调的，求实数m的取值范围．
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1=BC．
（1）求证：平面DA1C1∥平面B1AC；
（2）求证：B1C⊥BD1．
某工厂生产甲、乙两种产品，每生产1只甲产品需要A原料3克，B原料4克，C原料4克；每生产1只乙产品需要A原料2克，B原料5克，C原料6克；根据限额，每天A原料不超过120克，B原料不超过100克，C原料不超过240克；已知甲产品每只可获利20元，乙产品每只可获利10元，该工厂每天生产这两种产品各多少只，才能获利最大？

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