Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1，x=-

2

3

时，都取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）若对x∈[-1，2]，有f（x）＜

1

c

恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）根据极值点处的导数为零，列出关于a，b的方程组求解；
（2）只需f（x）在[-1，2]上的最大值小于c即可，结合导数求出f（x）在该区间上的最大值，构造关于c的不等式．

解答： 解（1）由已知得f′（x）=3x²+2ax+b，因为x=1，x=-

2

3

是极值点，
所以

f′(1)=0 f′(- 2 3 )=0

，即

3+2a+b=0 4-4a+3b=0

，解得a=-

1

2

，b=-2．
（2）由（1）得f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c，
所以f′(x)=3x2-x-2=3(x+

2

3

)(x-1)．令f′（x）=0得x=-

2

3

或x=1．
结合可导函数在闭区间上最值的求法可知，函数的最值必在区间内导数为0或端点处取得．
因为f（-1）=c+

1

2

，f（-

2

3

）=c+

22

27

，f（1）=c-

3

2

，f（2）=c+2．
可见最大值为f（2）=c+2．由题意得c+2＜

1

c

．即

c2+2c-1

c

＜0，
即

c2+2c-1＜0 c＞0

或

c2+2c-1＞0 c＜0

．
解得c＜-1-

2

或0＜c＜

2

-1．
故c的范围是c＜-1-

2

或0＜c＜

2

-1．

点评：本题考查了导数求极值的基本思路，以及利用利用导数研究函数的单调性求最值，解决不等式恒成立问题的思路．