Question

设A是棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，则关于此多面体有以下结论：
①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面；④表面积为3a²；⑤体积为

5

6

a³．
其中正确的结论是（　　）

• A、①③④
• B、①②⑤
• C、②③⑤
• D、②④⑤

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：先根据题意画出图形，如图，原来的六个面仍然在，但是却变成了一个小正方形，再添了八个顶点各对应的一个三角形的面，计算或数一数它的顶点数目、棱数及面数，可判断①、②、③；
再结合割补法求出它的表面积及体积，可判断④与⑤．

解答： 解：如图，
对于①，由于所有的顶点都出现在原来正方体的棱的中点位置，原来的棱的数目是12，所以现在的顶点的数目是12，故①正确；
对于②，每个正方形4条边，每个三角形3条边，4×6+3×8=48，考虑到每条边对应两个面，所以实际只有

1

2

×48=24（从图片上可以看出每个顶点对应4条棱，每条棱很明显对应两个顶点，所以棱数为

1

2

×48=24个），故②正确；
对于③，原来的六个面仍在，却是变成了一个小正方形，且添了八个顶点各对应的一个三角形的面，所以总计6+8=14个面，
故③错；
对于④，三角形和四边形的边长都是

2

2

a，所以正方形总面积为6×

1

2

a²=3a²，三角形总面积为8×

1

2

×

1

2

a²sin60°=

3

a²，
表面积（3+

3

）a²，故④错；
对于⑤，体积为原正方形体积减去8个三棱锥体积，每个三棱锥体积为8×

1

6

×(

a

2

)3=

1

6

a³，剩余总体积为a³-

1

6

a³=

5

6

a³．
故⑤正确．
故选：B．

点评：本题主要考查棱柱的结构特征，多面体的表面积与体积等基础知识，考查化归思想与空间想象能力、运算求解能力，属于难题．