Question

已知正项数列{a_n}中，其前n项和为S_n，且a_n=2

Sn

-1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

an+2

2n

，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求证：

3

2

≤T_n＜5；
（3）设c为实数，对任意满足成等差数列的三个不等正整数m，k，n，不等式S_m+S_n＞cS_k都成立，求实数c的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：证明题,综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用S_n与a_n的关系证明；
（2）利用错位相减法对数列{b_n}求和，然后进行放缩即可得出结论；
（3）利用等差数列的性质及不等式的性质放缩证明即可．

解答： 解：（1）由a_n=2

Sn

-1得
当n=1时，a₁=S₁，且a₁=2

S1

-1，∴a₁=1---------1分
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，故S_n-S_n-1=2

Sn

-1，得(

Sn

-1)2=S_n-1，
∵数列{a_n}是正项数列，
∴

Sn

-1=

Sn-1

即

Sn

-

Sn-1

=1
∴{

Sn

}是首项为1，公差为1的等差数列．----------4分
∴

Sn

=n，S_n=n²
∴a_n=2

Sn

-1=2n-1．---------------------------5分
（2）∵b_n=

an+2

2n

=

2n+1

2n

∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=

3

2

+

5

22

+

7

23

+…+

2n-1

2n-1

+

2n+1

2n

∴2T_n=3+

5

2

+

7

22

+…+

2n-1

2n-2

+

2n+1

2n-1

∴两式相减得T_n=3+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-1

-

2n+1

2n

=3+

1[1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

2n+1

2n

=5-

2n+5

2n

------8分
∵n∈N^*，∴T_n=5-

2n+5

2n

＜5
∵b_n=

an+2

2n

＞0，∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n≥b₁=

3

2

∴

3

2

≤T_n＜5．--------------------------------------------10分
（3）∵不等正整数m，k，n是等差数列，
∴m+n=2k，
∴c＜

Sm+Sn

Sk

=

m2+n2

k2

------------------------------------11分
又

m2+n2

k2

=

4(m2+n2)

(m+n)2

＞

2(m2+n2+2mn)

m2+n2+2mn

=2，
∴c≤2
∴实数c的取值范围为（-∞，2]．-------------------------------14分

点评：本题考查数列通项公式及求和的方法以及利用数列与不等式的关系，综合处理问题的能力．