Question

18．已知四棱锥中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BAD=120°，PA=3．
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）设AC与BD交于点O，M为OC中点，求PM与平面PAD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （I）根据线面垂直的判定，证明BD⊥平面PAC，利用面面垂直的判定，证明平面PBD⊥平面PAC．
（II）过M作MN⊥AD于N，连PN，证明∠MPN为PM与平面PAD所成的角，即可得出结论．

解答 （I）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，
又ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
因为PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，
因为BD?平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC．        …（4分）
（II）解：过M作MN⊥AD于N，连PN，
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥MN，故MN⊥平面PAD，
所以∠MPN为PM与平面PAD所成的角．…（8分）
又MN=AMsin60°=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$AN=$\frac{3}{2}$
所以PN=$\sqrt{9+\frac{9}{4}}=\frac{{3\sqrt{5}}}{2}$
所以$tan∠MPN=\frac{MN}{PN}=\frac{{\sqrt{15}}}{5}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直、面面垂直的判定，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直、面面垂直的判定，作出线面角．