Question

9．如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若C₁C=$\frac{\sqrt{6}}{2}$AB，求二面角C₁-BD-C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BD⊥CC₁，BD⊥AC，由此能证明BD⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连结OC₁，则∠C₁OC是二面角C₁-BD-C的平面角，由此能求出二面角C₁-BD-C的大小．

解答 证明：（Ⅰ）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，
∴CC₁⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，∴BD⊥CC₁，
∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
∵AC∩CC₁=C，∴BD⊥平面ACC₁A₁．
解：（Ⅱ）设AC∩BD=O，连结OC₁，
设C₁C=$\frac{\sqrt{6}}{2}$AB=$\sqrt{6}$，则DC₁=BC₁=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{6}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵ABCD是正方形，∴O是BD中点，∴C₁O⊥BD，CO⊥BD，
∴∠C₁OC是二面角C₁-BD-C的平面角，
∵CO=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{2}$，C₁O=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴tan∠C₁OC=$\frac{{C}_{1}C}{OC}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，∴∠C₁OC=60°．
∴二面角C₁-BD-C的大小为60°．

点评 本题考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．