Question

6．已知对于任意非零实数m，不等式|3m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 由对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，即|x-1-|2x-3|≤$\frac{|2m-1|+|1-m|}{|m|}$恒成立，由$\frac{|2m-1|+|1-m|}{|m|}$≥$\frac{|2m-1+1-m|}{|m|}$=1，因此只需|x-1|-|2x+3|≤1．对x分类讨论解出即可得出x的取值范围．

解答 解：由对于任意非零实数m，不等式|2m-1|+|1-m|≥|m|（|x-1|-|2x+3|）恒成立，
即|x-1-|2x-3|≤$\frac{|2m-1|+|1-m|}{|m|}$恒成立，
∵$\frac{|2m-1|+|1-m|}{|m|}$≥$\frac{|2m-1+1-m|}{|m|}$=1，
∴只需|x-1|-|2x+3|≤1．
①当x$≤-\frac{3}{2}$时，原式1-x+2x+3≤1，即x≤-3，所以x≤-3
②当$-\frac{3}{2}＜x＜1$时，原式1-x-2x-3≤1，即x≥-1，所以-1≤x＜1
③当x≥1时，原式x-1-2x-3≤1，即x≥-5，所以x≥1．
综上x的取值范围为（-∞，-3]∪[-1，+∞）．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法、恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．