Question

已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，

2

）．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）判断y=f（x）在其定义域上的单调性，丙加以证明．

Answer 1

考点：幂函数的性质,幂函数的概念、解析式、定义域、值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设幂函数f（x）=x^α，把点（4，2）代入求出α的值，即可求出函数的解析式；
（2）先判断出函数的单调性，利用单调性的定义法：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明．

解答： 解：（1）设幂函数f（x）=x^α，
因为幂函数的图象经过点（2，

2

），
所以2^α=

2

，解得α=

1

2

，
则幂函数的解析式为f(x)=

x

；
（2）函数f(x)=

x

在定义域[0，+∞）上为增函数，
证明如下：
任取x₁、x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

-

x2

=

( x1 - x2 )( x1 + x2 )

x1 + x2

=

x1-x2

x1 + x2

，
∵0≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，且

x1

+

x2

＞0，
∴

x1-x2

x1 + x2

＜0，即f（x₁）-f（x₂）＜0，
则f（x₁）＜f（x₂），
所以函数f(x)=

x

在定义域[0，+∞）上为增函数．

点评：本题考查待定系数法求出幂函数的解析式，以及单调性的定义法：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明函数的单调性．