Question

9．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{10}x+1，x≤1\\ lnx-1，x＞1\end{array}\right.$，则方程f（x）=ax恰有一个实根时，实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1]∪[1.1，+∞）∪{$\frac{1}{e^2}$}
• B． $（-1，\frac{1}{10}）$
• C． $（{-1，0}]∪（\frac{1}{10}，\frac{1}{e^2}）$
• D． $（-1，\frac{1}{e^2}）$

Answer 1

分析 由题意，方程f（x）=ax恰有一个实根，等价于y=f（x）与y=ax有1个交点，求出a的取值范围．

解答 解：当x≤1时f（x）=$\frac{1}{10}$x+1，
∴$\frac{1}{10}$x+1=ax，
∴a=$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{x}$，
令g（x）=$\frac{1}{10}$+$\frac{1}{x}$，
∵x≤1 又g（x）在（-∞，0）和（0，1）上都是单调递减的，
∴g（x）在x≤1上的值域是（-∞，0）∪[1.1，+∞），
当x＞1时，f（x）=lnx-1=ax，得到a=$\frac{lnx-1}{x}$，
令h（x）=$\frac{lnx-1}{x}$，
∵x＞1，∴h′（x）=$\frac{2-lnx}{{x}^{2}}$，
令h′（x）=0，得到2-lnx=0 得到x=e²，
∴h（x）在x属于（1，e²）上单调增，在（e²，+∞）上单调减，
∴h（x）的最大值为h（e²）=$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∵当x＜e时，lnx-1＜0，而x趋向正无穷时，h（x）趋向0，
∴h（x）的最小值为h（1）=-1（但是开区间 因为x＞1），
∴h（x）的值域是（-1，$\frac{1}{{e}^{2}}$），
∵f（x）=ax恰有一个实根，
∴a∈（-∞，-1]∪[1.1，+∞）∪{$\frac{1}{{e}^{2}}$}，
故选：A

点评 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，以及分类讨论的思想，以及函导数数与函数最值问题，进行解答，是易错题．