Question

19．已知x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，函数f（x）=$\frac{2x-k}{{{x^2}+1}}$的定义域为[x₁，x₂]，当x₂=1时，f（x）≤2恒成立，则k的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． [-2，+∞）
• C． （1，2）
• D． $（{\frac{1}{2}，\frac{2}{3}}）$

Answer 1

分析 对函数f（x）求导数，根据x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，得出f′（x）＞0恒成立，f（1）为最大值，列不等式f（1）≤2，解出k的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{2x-k}{{{x^2}+1}}$，
∴f′（x）=$\frac{2{（x}^{2}+1）-（2x-k）•2x}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$=$\frac{-{2x}^{2}+2kx+2}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$=$\frac{-{4x}^{2}+4kx+4}{{2{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
因为x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程4x²-4kx-1=0（k∈R）的两个不等实根，
显然x₁≤x≤x₂时，4x²-4kx-1≤0，
∴4x²-4kx-4≤-3，
∴f′（x）＞0恒成立，
f（1）为最大值．从而f（1）≤2，
即$\frac{2-k}{1+1}$≤2，解得k≥-2．
故选：B．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性和方程与不等式的应用问题，是综合性题目．