Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=a_n-n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-1，令n=1，求出a₁=1．再由S_n-S_n-1得a_n=2a_n-1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由b_n=a_n-n，an=2n-1，得到bn=2n-1-n，由此利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=2a_n-1，
令n=1，解得a₁=1．（2分）
∵S_n=2a_n-1，
∴Sn-1=2an-1-1，(n≥2，n∈N*)…（3分）
两式相减得a_n=2a_n-1，…（5分）
∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，…（6分）
∴an=2n-1．…（7分）
（Ⅱ）解：∵b_n=a_n-n，an=2n-1，
bn=2n-1-n…（8分）

Tn=b1+b2+…+bn     =(20-1)+(21-2)+…+(2n-1-n)

=（2⁰+2¹+…+2^n-1）-（1+2+…+n）…（10分）
=2n-1-

n(n+1)

2

…（13分）
（说明：等比求和正确得（2分），等差求和正确得1分）

点评：本题考查数列等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想．