Question

解下列不等式：
（1）x³-2x²+3＜0；
（2）x（x-1）²（x+1）³（x+2）≥0；
（3）

x

x2-8x+15

≥2．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（1）不等式x³-2x²+3＜0?（x+1）（x²-3x+3）＜0，从而可求得其解集；
（2）对不等式x（x-1）²（x+1）³（x+2）≥0中的x分x＜-2，-2≤x≤-1，-1＜x＜0与x≥0四类讨论，即可求得答案；
（3）将原不等式右端的2移到左端，通分转化为

(x-6)(2x-5)

(x-3)(x-5)

≤0，利用穿根法即可求得答案；或者转化为

(x-6)(2x-5)≥0 (x-3)(x-5)＜0

①或

(x-6)(2x-5)≤0 (x-3)(x-5)＞0

②，分别解①与②即可求得答案．

解答： 解：（1）不等式x³-2x²+3＜0?（x+1）（x²-3x+3）＜0，
∵方程x²-3x+3=0中，△=（-3）²-4×3=-3＜0，且首项系数大于0，
∴x²-3x+3＞0恒成立，
∴（x+1）（x²-3x+3）＜0?x+1＜0，
∴x＜-1，
∴不等式x³-2x²+3＜0的解集为{x|x＜-1}；
（2）∵x（x-1）²（x+1）³（x+2）≥0，
∴当x＜-2时，x+2＜0，x+1＜0?（x+1）³＜0，（x-1）²＞0，x＜0，
∴x（x-1）²（x+1）³（x+2）＜0，
∴x＜-2不符合题意；
当-2≤x≤-1时，同理可得x（x-1）²（x+1）³（x+2）≥0，符合题意；
当-1＜x＜0时，同理可知x（x-1）²（x+1）³（x+2）＜0，
∴-1＜x＜0不符合题意；
当x≥0时，x（x-1）²（x+1）³（x+2）≥0成立，
综上所述，不等式x（x-1）²（x+1）³（x+2）≥0的解集为{x|-2≤x≤-1或x≥0}；
（3）∵

x

x2-8x+15

≥2，
∴

x-2x2+16x-30

x2-8x+15

≥0，整理得：

(x-6)(2x-5)

(x-3)(x-5)

≤0，
由穿根法知，

原不等式的解集为{x|

5

2

≤x＜3或5＜x≤6}．
或者：

(x-6)(2x-5)

(x-3)(x-5)

≤0?

(x-6)(2x-5)≥0 (x-3)(x-5)＜0

①或

(x-6)(2x-5)≤0 (x-3)(x-5)＞0

②，
解①得x∈∅；
解②得

5

2

≤x＜3或5＜x≤6，
∴原不等式的解集为：{x|

5

2

≤x＜3或5＜x≤6}．

点评：本题考查不等式的解法，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．