Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）+f（x）=0，当x∈（-∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0总成立，若记a=2^0.2•f（2^0.2），b=（log_π3）•f（log_π3），c=（-3）•f（log₃

1

27

），则a，b，c的大小关系为（　　）

• A、a＞b＞c
• B、a＞c＞b
• C、c＞b＞a
• D、c＞a＞b

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）+f（x）=0，可得函数f（x）是奇函数．当x∈（-∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0总成立，可得（xf（x））′＜0，令F（x）=xf（x），可得F（x）是偶函数．函数F（x）在（-∞，0）上单调递减．可得函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．由于0＜logπ3＜20.2＜3，即可得出．

解答： 解：定义在R上的函数y=f（x）满足f（-x）+f（x）=0，
∴函数f（x）是奇函数．
当x∈（-∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0总成立，
∴（xf（x））′＜0，
令F（x）=xf（x），∴F（-x）=-xf（-x）=xf（x）=F（x）．
∴函数F（x）在（-∞，0）上单调递减．
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增．
∵0＜logπ3＜20.2＜3，a=2^0.2•f（2^0.2），b=（log_π3）•f（log_π3），
c=（-3）•f（log₃

1

27

）=3f（3），
∴b＜a＜c．
故选：D．

点评：本题考查了函数的奇偶性单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．