Question

11．已知函数f（x）=x³-ax-1（a∈R）
（ I）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（-1，1）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （ I）求出函数的导数，通过a的讨论，判断导函数的符号，推出函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）利用第一问的结果，利用单调性的子集关系推出结果即可．

解答 （本题满分12分）
解：（ I）f'（x）=3x²-a---------------------（1分）
若a≤0，f'（x）=3x²-a≥0，f（x）在R上单调递增---------（4分）
若$a＞0，f'（x）＜0，x∈（{-\sqrt{\frac{a}{3}}，\sqrt{\frac{a}{3}}}），f'（x）＞0，x∈（{-∞，-\sqrt{\frac{a}{3}}}）∪（{\sqrt{\frac{a}{3}}，+∞}）$
函数f（x）的递减区间为$（{-\sqrt{\frac{a}{3}}，\sqrt{\frac{a}{3}}}）$，递增区间为$（{-∞，-\sqrt{\frac{a}{3}}}），（{\sqrt{\frac{a}{3}}，+∞}）$-------（8分）
（ II）由（1）知，函数f（x）在区间（-1，1）上单调递减，
$（{-1，1}）⊆（{-\sqrt{\frac{a}{3}}，\sqrt{\frac{a}{3}}}）∴1≤\sqrt{\frac{a}{3}}∴a≥3$---------------------------------（12分）

点评 本题考查函数的单调性以及的导数的求法，考查分析问题解决问题的能力．