Question

15．△ABC₁和△ABC₂是两个腰长均为1的等腰直角三角形，当二面角C₁-AB-C₂为60°时，点C₁和C₂之间的距离等于$\sqrt{2}，1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．（请写出所有可能的值）

Answer 1

分析 ①若AB是斜边，则根据题中二面角的大小，首先要作出此二面角的平面角，可以取AB中点M，连接MC₁、MC₂，则∠C₁MC₂即为等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面构成的二面角的平面角，进而可以求得答案；
②若AB是直角边，则∠C₁AC₂即为等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面构成的二面角的平面角，进一步可得答案；
③如图3所示：AB为公共直角边时，C₁在靠近A的这侧，但是C₂在靠近B的那侧．

解答 解：①如图1所示：当AB为斜边时，取AB中点M，连接MC₁、MC₂，
∵△ABC₁和△ABC₂均为等腰直角三角形，
∴MC₁⊥AB，MC₂⊥AB，则∠C₁MC₂即为等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面构成的二面角的平面角，
∴∠C₁MC₂=60°，
又∵MC₁=MC₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴C₁C₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②如图2所示：当AB为直角边时，
∵BA⊥AC₁，BA⊥AC₂，
∴∠C₁AC₂即为等腰直角△ABC₁和△ABC₂所在的平面构成的二面角的平面角，
∴∠C₁AC₂=60°，
又∵C₁A=C₂A=1，
∴C₁C₂=1；
③如图3所示：AB为公共直角边时，C₁在靠近A的这侧，但是C₂在靠近B的那侧，
此时C₁C₂=$\sqrt{2}$，
综上所述：点C₁和C₂之间的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1或$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}，1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题主要考查点、线、面之间的距离计算，二面角及其度量等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力，是中档题．