Question

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分为a，b，c，向量$\overrightarrow m$=（2b-c，a），$\overrightarrow n$=（cosC，cosA），且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$．
（1）求角A的大小；
（2）若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=4，求边a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意，利用向量平行的坐标表示，正弦定理可得关于cosA 的方程，从而可求cosA，进而可求A．
（2）由平面向量的数量积的运算可求bc=8，进而利用余弦定理可求a的最小值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵向量$\overrightarrow m$=（2b-c，a），$\overrightarrow n$=（cosC，cosA），且$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$，
∴可得：（2b-c）cosA-acosC=0，
由正弦定理得：（4sinB-2sinC）cosA-2sinAcosC=0，
即：2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
∵sinB≠0，
∴2cosA=1，
∴A=60°．…（6分）
（2）∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=4，可得：bccos60°=4，解得：bc=8，
又a²=b²+c²-2bccos60°≥2bc-bc=bc=8，
当且仅当b=c=2$\sqrt{2}$时，取等号，
∴a_min=2$\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查了向量平行的坐标表示，正弦定理，平面向量的数量积的运算，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．