Question

20．函数f（x）的定义域为R，且满足f（1）=2，f′（x）＜1，则不等式f（x）＜x+1的解集为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，1）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-x-1，求出g（x）的单调性，从而求出不等式的解集即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-x-1，则g′（x）=f′（x）-1，
由f′（x）＜1，得g′（x）＜0，所以g（x）在R上为减函数，
又g（1）=f（1）-1=2-2=0，
所以当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即f（x）＜x+1，
所以不等式f（x）＜x+1的解集是（1，+∞），
故答案为：（1，+∞），
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，令g（x）=f（x）-x-1，求出g（x）的单调性是解题的关键，本题是一道中档题．