Question

3．已知定义在实数集R上的函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，其中a，b，c，d是实数．若函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，并且f（0）=-7，f′（0）=-18，求函数f（x）的表达式．

Answer 1

分析 因为函数f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都是增函数，在区间（-1，3）上是减函数，则导数在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上都大于零，在区间（-1，3）上小于零，可知，-1和3对应的导数值为0，再由f′（0）=-18，可求得导函数，再利用导函数与原函数间的关系，表示出原函数，再由f（0）=-7求解．

解答 解：f′（x）=3ax²+2bx+c．
由f'（0）=-18得c=-18，即f′（x）=3ax²+2bx-18，
又由于f（x）在区间（-∞，-1）和（3，+∞）上是增函数，
在区间（-1，3）上是减函数，
所以-1和3必是f′（x）=0的两个根．
从而$\left\{\begin{array}{l}{3a-2b-18=0}\\{27a+6b-18=0}\end{array}\right.$，
又根据f（0）=-7，
所以f（x）=2x³-6x²-18x-7．

点评 本题主要考查函数的单调性问题，当导数大于零时，函数为增函数，当导数小于零时，函数为减函数．