Question

2．巳知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，都有不等式f（x）+xf'（x）＞0成立，若$a={4^{0.2}}f（{{4^{0.2}}}），b=（{{{log}_4}3}）f（{{{log}_4}3}），c=（{{{log}_4}\frac{1}{16}}）f（{{{log}_4}\frac{1}{16}}）$，则a，b，c的大小关系是c＞a＞b．

Answer 1

分析 根据题意，令g（x）=xf（x），则a=g（4^0.2），b=g（log₄3），c=f（log₄$\frac{1}{16}$），由函数的奇偶性定义分析可得g（x）为偶函数，对g（x）求导可得g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数，比较可得|log₄$\frac{1}{16}$|＞|4^0.2|＞|log₄3|，结合函数的单调性分析可得答案．

解答 解：根据题意，令g（x）=xf（x），则a=g（4^0.2），b=g（log₄3），c=f（log₄$\frac{1}{16}$）
有g（-x）=（-x）f（-x）=（-x）[-f（x）]=xf（x），则g（x）为偶函数，
又由g′（x）=（x）′f（x）+xf'（x）=f（x）+xf'（x），
又由当x∈（0，+∞）时，都有不等式f（x）+xf'（x）＞0成立，
则当x∈（0，+∞）时，有g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数，
分析可得|log₄$\frac{1}{16}$|＞|4^0.2|＞|log₄3|，
则有c＞a＞b；
故答案为：c＞a＞b．

点评 本题考查函数的导数与单调性的关系，涉及函数奇偶性的性质应用，关键是构造函数g（x）=xf（x）．