Question

12．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2x+a•cos2x（a∈R）．
（Ⅰ）若f（$\frac{π}{6}$）=2，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]上单调递减，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据f（$\frac{π}{6}$）=2，即可求a的值；
（Ⅱ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，f（x）在[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]上单调递减，可得最大值．

解答 解：（Ⅰ）因为$f（\frac{π}{6}）=\sqrt{3}sin2•\frac{π}{6}+a•cos2•\frac{π}{6}=2$，
∵$\frac{3}{2}+a•\frac{1}{2}=2$．
故得：a=1．
（Ⅱ）由题意：f（x）=$\sqrt{3+{a}^{2}}sin（2x+θ）$，其中tan$θ=\frac{a}{\sqrt{3}}$，
∴函数的周期T=π，且$\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}=\frac{π}{2}$，
所以当x=$\frac{π}{12}$时，函数f（x）取得最大值，即f（x）_max=f（$\frac{π}{12}$）═$\sqrt{3+{a}^{2}}sin（\frac{π}{6}+θ）$=$\sqrt{3+{a}^{2}}$，
∴sin（$\frac{π}{6}+θ$）=1，
∴$θ=\frac{π}{3}+2kπ$，k∈Z．
∴tanθ=$\frac{a}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴a=3．
故得$f（x）=2\sqrt{3}sin（2x+\frac{π}{3}）$．
因此f（x）的最大值为$2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．