Question

17．如图，已知A、B、C、D为抛物线E：x²=2py（p＞0）上不同四点，其中A、D关于y轴对称，过点D作抛物线E的切线l和直线BC平行．
（Ⅰ）求证：AD平分∠CAB；
（Ⅱ）若p=2，点D到直线AB、AC距离和为$\sqrt{2}$|AD|，三角形ABC面积为128，求BC的直线方程．

Answer 1

分析 （1）A（-x₀，y₀），D（x₀，y₀）B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），证明k_AC+k_AB=$\frac{{x}_{2}-{x}_{0}}{2p}$+$\frac{{x}_{1}-{x}_{0}}{2p}$=0，由此能推导出∠BAC的角平分线在直线AD上．
（2）设∠BAD=∠CAD=α，则m=n=|AD|sinα，α=$\frac{π}{4}$，由此能推导出直线BC的方程．

解答 （1）证明：设A（-x₀，y₀），D（x₀，y₀）B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵y′=$\frac{x}{p}$，∴k_BC=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2p}$=$\frac{{x}_{0}}{p}$，∴x₁+x₂=2x₀，
k_AC=$\frac{{x}_{2}-{x}_{0}}{2p}$．k_AB=$\frac{{x}_{1}-{x}_{0}}{2p}$，
∴k_AC+k_AB=$\frac{{x}_{2}-{x}_{0}}{2p}$+$\frac{{x}_{1}-{x}_{0}}{2p}$=0，
所以直线AC和直线AB的倾斜角互补，所以∠BAD=∠CAD，
∴∠BAC的角平分线在直线AD上（6分）
（2）解：∠BAD=∠CAD=α
则m=n=|AD|sinα，∴sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴α=$\frac{π}{4}$，
∴直线AC的方程：y-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$=x+x₀，即y=x+$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+x₀，
把直线AC与抛物线方程x²=4y联立的x²-4x-4x₀-x₀²=0∴-x₀x₂=-4x₀-x₀²∴x₂=x₀+4
同理可得x₁=x₀-4，
∵-x₀＜x₀-4＜x₀，∴x₀＞2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{3}\sqrt{2}（4+2{x}_{0}）•\sqrt{2}（2{x}_{0}-4）$=$4（{{x}_{0}}^{2}-4）$=128，
∴x₀=6（10分）
∴B（2，1），k_BC=3，∴l_BC：3x-y-5=0（12分）

点评 本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．