Question

对一切实数x、y满足：f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＞0，证明：f（x）是R上的增函数．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数单调性的定义，作差，利用所给恒等式进行变形，判断f（x₁）与f（x₂）的大小，进而证明出f（x）的单调性；

解答： 证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，
∵x＞0时，f（x）＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x+y）-f（x）=f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上单调递增．

点评：本题主要考查了抽象函数表达式反映函数性质及抽象函数表达式的应用，函数单调性的定义及其证明，转化化归的思想方法