Question

将圆周上的任意点均染成黑色或白色，对任意一种染色方法．
（1）是否一定存在一个直角三角形，其顶点同色，证明你的结论；
（2）证明：存在一个等腰三角形，其顶点同色．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：（1）若直角三角形的三个顶点在圆周上，则斜边一定为直径，我们把圆分成两个半圆，一半涂黑，一半涂白，则不存在一条直径的两个端点同色，故这样的直角三角形不是一定存在的；
（2）取圆的一个内接五边形，则五个顶点中，至少有三个顶点是同色的，进而可得答案．

解答： 解：（1）这样的直角三角形不是一定存在的，理由如下：
把圆分成两个半圆，一半涂黑，一半涂白，
则不存在一条直径的两个端点同色，
此时不存在一个直角三角形，其顶点同色．
证明：（2）取圆的一个内接五边形，
则五个顶点中，至少有三个顶点是同色的，
连接这三个顶点，可得到一个等腰三角形，
故存在等腰三角形，其顶点同色．

点评：本题考查的知识点是合情推理，本题逻辑性强，证明思路比较难理解，属于中档题．