Question

已知函数f（x）对一切m、n∈R都有：f（m+n）=f（m）+f（n）-2，并且当x＞0时，f（x）＞2．
（1）判定并证明函数f（x）在R上的单调性；
（2）若f（3）=5，求不等式f（a²-2a-2）＜3的解集．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）设x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，再由x＞0时f（x）＞2，令f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]，由条件即可得到f（x₁）＜f（x₂），由单调性的定义，即可判断；
（2）根据（1）的结论，首先找出f（1）=3，然后利用单调性去掉抽象函数，解二次不等式即可．

解答： 解：（1）f（x）在R上是增函数．
理由如下：设x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞2
∴f（x₂-x₁）＞2即f（x₂-x₁）-2＞0，
而函数f（x）对一切m、n∈R都有：f（m+n）=f（m）+f（n）-2，
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2＞f（x₁）
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上是增函数；
（2）由于f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）-2，
=f（1+1）+f（1）-2=3f（1）-4
∵f（3）=5，
∴f（1）=3，
∵f（a²-2a-2）＜3，即有f（a²-2a-2）＜f（1），
由（1）知，函数f（x）在R上是增函数，
∴a²-2a-2＜1即-1＜a＜3
∴不等式f（a²-2a-2）＜3的解集是（-1，3）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性及运用，注意定义的运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．