题目内容
已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，作∠CDE=∠CDF=α，交AC于F，交BC于E．请问当α为何值时，△DEF的面积最大并求出最大值．
考点：三角形的面积公式
专题：解三角形
分析：设AB=c，BC=a，CA=b．由三角形的面积可得CD=
，∠DCB=∠A，∠ACD=∠B． 在△CDF中，根据正弦定理可得：
=
，可得DF=
；同理，在△CDE中，根据正弦定理，有DE=
．△DEF的面积S=
DE•DFsin2α，代入化简可得S=
．由于cotA•cotB•tanα+cotα≥2
=2，可得S≤
．等号成立当且仅当tanα=cotα，即α=45°． 又考虑到cotA=
，cotB=
，可得最大面积S=
．
| ab |
| c |
| DF |
| sinB |
| CD |
| sin(α+B) |
| CDsinB |
| sin(α+B) |
| CDsinA |
| sin(α+A) |
| 1 |
| 2 |
| a2b2 |
| c2(cotAtanαcotB+cotA+cotB+cotα) |
| cotAcotB |
| a2b2 |
| c2(2+cotA+cotB) |
| b |
| a |
| a |
| b |
| a3b3 |
| c2(a+b)2 |
解答：
解：设AB=c，BC=a，CA=b．
由三角形的面积可得CD=
，∠DCB=∠A，∠ACD=∠B．
在△CDF中，根据正弦定理可得：
=
，可得DF=
；
同理，在△CDE中，根据正弦定理，有DE=
．
△DEF的面积S=
DE•DFsin2α
=
=
•
=
•
=
．
∵cotA•cotB•tanα+cotα≥2
=2，
∴S≤
，等号成立当且仅当tanα=cotα，即α=45°．
又考虑到cotA=
，cotB=
，
∴最大面积S=
．
因此当α=45°时，三角形的最大面积
．
由三角形的面积可得CD=
| ab |
| c |
在△CDF中，根据正弦定理可得：
| DF |
| sinB |
| CD |
| sin(α+B) |
| CDsinB |
| sin(α+B) |
同理，在△CDE中，根据正弦定理，有DE=
| CDsinA |
| sin(α+A) |
△DEF的面积S=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| CD2sinAsinBsin2α |
| sin(α+A)sin(α+B) |
=
| a2b2 |
| c2 |
| sinAsinBsinαcosα |
| (sinαcosA+cosαsinA)(sinαcosB+cosαsinB) |
=
| a2b2 |
| c2 |
| 1 |
| (cotA+cotα)(tanαcotB+1) |
| a2b2 |
| c2(cotAtanαcotB+cotA+cotB+cotα) |
∵cotA•cotB•tanα+cotα≥2
| cotAcotB |
∴S≤
| a2b2 |
| c2(2+cotA+cotB) |
又考虑到cotA=
| b |
| a |
| a |
| b |
∴最大面积S=
| a3b3 |
| c2(a+b)2 |
因此当α=45°时，三角形的最大面积
| a3b3 |
| c2(a+b)2 |
点评：本题考查了直角三角形的面积计算公式、正弦定理、基本不等式的性质、互余角的性质、余切函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
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