Question

某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是p=

t+20，0＜t＜25，t∈N 100-t，25≤t≤30，t∈N

，该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用

分析：设日销售金额为y（元），则y=p•Q，对每段化简和配方，根据二次函数的性质，分别求解每段函数的最大值，由此能求出商品的日销售额y的最大值．

解答： 解：设日销售金额为y（元），则y=p•Q，
y=

(20+t)(40-t)，0＜t＜25，t∈N (100-t)(40-t)，25≤t≤30，t∈N

=

-t2+20t+800，0＜t＜25，t∈N t2-140t+4000，25≤t≤30，t∈N

=

-(t-10)2+900，0＜t＜25，t∈N (t-70)2-900，25≤t≤30，t∈N

，
当0＜t＜25，t∈N，t=10时，y_max=900（元）；
当25≤t≤30，t∈N，t=25时，y_max=1125（元）．
由1125＞900，知y_max=1125（元），且第25天，日销售额最大．

点评：本题考查分段函数在生产实际中的应用，考查二次函数的最值问题和运算求解能力，属于中档题．