题目内容
已知函数f（x）=cos2x-sin2x+2
sinxcosx．
（1）当x∈[0，
]时，求f（x）的值域；
（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin（A+B）=2sin（B+C），
=
，求A以及f（B）的值．
| 3 |
（1）当x∈[0，
| π |
| 2 |
（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin（A+B）=2sin（B+C），
| b |
| a |
| 3 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）首先，化简函数f（x）=2sin（2x+
），然后，借助于正弦函数的单调性进行求解值域；
（2）根据三角形的内角和性质，结合诱导公式，得到sinC=2sinA，然后，利用正弦定理的推论得到三边之间的关系，最后借助于余弦定理，求解相应的角度．
| π |
| 6 |
（2）根据三角形的内角和性质，结合诱导公式，得到sinC=2sinA，然后，利用正弦定理的推论得到三边之间的关系，最后借助于余弦定理，求解相应的角度．
解答：
解：（1）∵函数f（x）=cos2x-sin2x+2
sinxcosx
=cos2x+
sin2x
=2sin（2x+
），
∵x∈[0，
]，
∴（2x+
）∈[
，
]，
∴sin（2x+
）∈[-
，1]，
∴2sin（2x+
）∈[-1，2]，
∴f（x）∈[-1，2]，
∴f（x）的值域[-1，2]；
（2）sin（A+B）=2sin（B+C），
∴sin（π-C）=2sin（π-A），
∴sinC=2sinA，
∵sinC=
，sinA=
，（其中R为△ABC外接圆的半径），
∴c=2a，
∵
=
，
∴b=
a，
由余弦定理，得
cosA=
=
=
，
∵0＜A＜π，∴A=
，
∵sinB=
sinA=
×
=
，
∴B=
（或B=
），
∵c＞b＞a，
∴B=
（舍去），
∴B=
，
∴f（B）=2sin（2×
+
）=1．
| 3 |
=cos2x+
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 6 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
∴（2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
∴sin（2x+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴2sin（2x+
| π |
| 6 |
∴f（x）∈[-1，2]，
∴f（x）的值域[-1，2]；
（2）sin（A+B）=2sin（B+C），
∴sin（π-C）=2sin（π-A），
∴sinC=2sinA，
∵sinC=
| c |
| 2R |
| a |
| 2R |
∴c=2a，
∵
| b |
| a |
| 3 |
∴b=
| 3 |
由余弦定理，得
cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| 3a2+4a2-a2 | ||
2×
|
| ||
| 2 |
∵0＜A＜π，∴A=
| π |
| 6 |
∵sinB=
| b |
| a |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴B=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∵c＞b＞a，
∴B=
| 2π |
| 3 |
∴B=
| π |
| 3 |
∴f（B）=2sin（2×
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
点评：本题综合考查了三角公式及其灵活运用、三角恒等变换公式、余弦定理、正弦定理及其应用，属于中档题．
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