Question

已知向量

a

=（

1

2

，

3

sinx），

b

=（cos2x，-cosx），x∈R，设函数f（x）=

a

•

b

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及在区间[0，π]上的单调区间；
（Ⅱ）若f（θ）=1，求cos²（

π

2

-θ）+

3

sinθcosθ的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用向量积的知识，求得f（x）的解析式，进而化简，利用三角函数的图象和性质求得函数的最小正周期T和在区间[0，π]上的单调区间．
（Ⅱ）通过f（θ）=1，求得cos（2θ+

π

3

）的值，代入原式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

a

•

b

=

1

2

cos2x-

3

sinxcosx=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=cos（2x+

π

3

），
∴T=

2π

2

=π，
当π+2kπ≤2x+

π

3

≤2π+2kπ，k∈Z，即

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ，k∈Z时，函数单调增，
∵x∈[0，π]
∴f（x）在区间[0，π]上的单调减区间为[0，

π

3

]，[

5π

6

，π]，单调增区间为[

π

3

，

5π

6

]．
（Ⅱ）∵f（θ）=1，
∴cos(2θ+

π

3

)=1
∴cos2(

π

2

-θ)+

3

sinθcosθ=

1-cos2θ

2

+

3

2

sin2θ=

1

2

-cos(2θ+

π

3

)=-

1

2

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．