题目内容

已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S2=
3
2
a2-1，S3=
3
2
a3-1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为dn的等差数列，求数列{
1
dn
}的前n项和为Tn．
考点：等比数列的性质,数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由a3=S3-S2结合已知求得等比数列的公比q，再把q代入S2=
3
2
a2-1求解a1，则等比数列的通项公式可求；
（2）由an+1=2×3n，an=2×3n-1，an+1=an+（n+1）dn求出dn，进一步得到
1
dn
，再由错位相减法求
数列{
1
dn
}的前n项和为Tn．
解答： 解：（1）由已知得a3=S3-S2=
3
2
a3-
3
2
a2，
∴a3=3a2，则公比q=3，
由S2=
3
2
a2-1，得a1+3a1=
9
2
a1-1，即a1=2，
因此数列{an}的通项公式为an=2×3n-1；
（2）由（1）知an+1=2×3n，an=2×3n-1，
∵an+1=an+（n+1）dn，
∴dn=
4×3n-1
n+1
，则
1
dn
=
n+1
4×3n-1
，
令Tn=
1
d1
+
1
d2
+
1
d3
+…+
1
dn
，
则Tn=
2
4×30
+
3
4×31
+
4
4×32
+…+
n+1
4×3n-1
  ①
1
3
Tn=
2
4×31
+
3
4×32
+…+
3
4×3n-1
+
n+1
4×3n
  ②
①-②得：
2
3
Tn=
2
4×30
+
1
4×31
+
1
4×32
+…+
1
4×3n-1
-
n+1
4×3n

=
1
2
+
1
4
×
1
3
(1-
1
3n-1
)
1-
1
3
-
n+1
4×3n
=
5
8
-
2n+5
8×3n
，
∴Tn=
15
16
-
2n+5
16×3n-1
．
点评：本题考查了等比数列的性质，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
在一次招聘会上，应聘这小李被甲、乙两家公司同时意向录取．甲公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加6000元；乙公司给出的工资标准：第一年的年薪为4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加8%．
（Ⅰ）若小李在乙公司连续工作5年，则他在第5年的年薪是多少万元？
（Ⅱ）为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴7200元．那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收入？（参考数据：1.084≈1.4，1.085≈1.5，1.0810≈2.2，1.0511≈2.3）
已知实数k∈R，且k≠0，e为自然对数的底数，函数f（x）=
k•ex
ex+1
，g（x）=f（x）-x．
（1）如果函数g（x）在R上为减函数，求k的取值范围；
（2）如果k∈（0，4]，求证：方程g（x）=0有且有一个根x=x0；且当x＞x0时，有x＞f（f（x））成立；
（3）定义：①对于闭区间[s，t]，称差值t-s为区间[s，t]的长度；②对于函数g（x），如果对任意x1，x2∈[s，t]⊆D（D为函数g（x）的定义域），记h=|g（x2）-g（x1）|，h的最大值称为函数g（x）在区间[s，t]上的“身高”．问：如果k∈（0，4]，函数g（x）在哪个长度为2的闭区间上“身高”最“矮”？
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
1
2
，且经过点P（1，
3
2
）．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）椭圆E的内接平行四边形ABCD的一组对边分别过椭圆的焦点F1，F2，求该平行四边形面积的最大值．
已知关于x的二次函数f（x）=ax2-4bx+1，
（1）设集合P={-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3，4，}，分别从集合P和集合Q中任取一个数作为a和b的值，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（2）若a是从区间[1，3]任取的一个数，b是从区间[1，3]任取的一个数，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．
（1）已知角α终边上一点P（-4a，3a），a≠0，求
cos(
π
2
+α)sin3(-π-α)
cos(
11π
2
-α)sin2(
9π
2
+α)
的值．
（2）已知tanα=3，求
1
2sinαcosα+cos2α
的值．
定义：如果数列{an}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{an}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{an}，如果函数y=f（x）使得bn=f（an）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{an}的“保三角形函数”，（n∈N*）．
（Ⅰ）已知数列{cn}的首项为2010，Sn是数列{cn}的前n项和，且满足4Sn+1-3Sn=8040，证明{cn}是“三角形”数列；
（Ⅱ）已知{an}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=kx，（k＞1）是数列{an}的“保三角形函数”，求k的取值范围．
已知函数f（x）=2|x-m|和函数g（x）=x|x-m|+2m-8，其中m为参数，且满足m≤5．
（1）若m=2，写出函数g（x）的单调区间（无需证明）；
（2）若方程f（x）=2|m|在x∈[-2，+∞）上有唯一解，求实数m的取值范围；
（3）若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（-∞，4]，使得f（x2）=g（x1）成立，求实数m的取值范围．
给出下列不等式：
①a，b∈R，且a2+
b2
4
=1，则ab≤1；
②a，b∈R，且ab＜0，则
a2+b2
ab
≤-2；
③a＞b＞0，m＞0，则
a+m
b+m
＞
a
b
；
④|x+
4
x
|≥4（x≠0）．
其中正确不等式的序号为
 
．

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