Question

已知函数f(x)=2

3

sinxcosx+cos2x+1  (x∈R)．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最小值，并写出f（x）取最小值时相应的x值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，利用三角函数性质求得其最小正周期．
（Ⅱ）根据x的范围，确定2x+

π

6

的范围，进而求得sin（2x+

π

6

）的范围，求得f（x）的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=2

3

sinxcosx+cos2x+1=

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴-

π

3

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

6

）≤1，
∴当2x+

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

4

时，函数f（x）取最小值，最小值为-

3

+1．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．考查了基础知识的综合运用．