题目内容
已知函数f(x)=2
cos2x+2sinxcosx-m(x∈R)．在区间[0，
]上，函数f（x）最大值为2．
（1）求实数m的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c．若A为锐角，且满足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC面积为
，求边长a．
| 3 |
| π |
| 2 |
（1）求实数m的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边是a，b，c．若A为锐角，且满足f（A）=0，sinB=3sinC，△ABC面积为
3
| ||
| 4 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,余弦定理
专题：三角函数的图像与性质,解三角形
分析：（1）利用两角和公式和倍角公式对函数解析式化简整理，利用三角函数的性质表示出函数的最大值，进而求得m．
（2）把f（A）代入f（x）的解析式，求得A的值，利用正弦定理和已知等式求得b和c的关系式，进而根据面积公式求得另一个b和c的关系式，最后联立求得a．
（2）把f（A）代入f（x）的解析式，求得A的值，利用正弦定理和已知等式求得b和c的关系式，进而根据面积公式求得另一个b和c的关系式，最后联立求得a．
解答：
解：（1）∵f(x)=2
cos2x+2sinxcosx-m=
(cosx+1)+sin2x-m
∴f(x)=2sin(2x+
)+
-m，
∵x∈[0，
]，所以
≤2x+
≤
∴f(x)在2x+
=
时取得最大值．f（
）=2+
-m=2
∴m=
．
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+
），f（A）=0，
∴f（A）=2sin（2A+
）=0，
∴2A+
=kπ，即A=
-
，k∈Z，
∵0＜A＜
，
∴A=
，
∵sinB=3sinC，
∴由正弦定理知，b=3c，①
∴S△ABC=
bcsinA=
bcsin
=
，
∴bc=3，②
由①②解得b=3，c=1，
∴a=
=
=
．
| 3 |
| 3 |
∴f(x)=2sin(2x+
| π |
| 3 |
| 3 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
∴f(x)在2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 3 |
∴m=
| 3 |
（2）由（1）知f（x）=2sin（2x+
| π |
| 3 |
∴f（A）=2sin（2A+
| π |
| 3 |
∴2A+
| π |
| 3 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 6 |
∵0＜A＜
| π |
| 2 |
∴A=
| π |
| 3 |
∵sinB=3sinC，
∴由正弦定理知，b=3c，①
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
3
| ||
| 4 |
∴bc=3，②
由①②解得b=3，c=1，
∴a=
| b2+c2-2bccosA |
32+1-2×3×1×cos
|
| 7 |
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用，三角函数的性质．
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