Question

16．将一张边长为12cm的正方形纸片按如图（1）所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图（2）所示放置．如果正四棱锥的主视图是等边三角形，如图（3）所示，则正四棱锥的体积是（　　）

• A． $\frac{32}{3}$$\sqrt{6}$cm³
• B． $\frac{64}{3}$$\sqrt{6}$cm³
• C． $\frac{32}{3}$$\sqrt{2}$cm³
• D． $\frac{64}{3}$$\sqrt{2}$cm³

Answer 1

分析 由题意可得：设裁去四个全等的等腰三角形的底边边长为x，则图（2）中的底面正方形的边长=$\frac{12-x}{2}×\sqrt{2}$，又图（3）中的等边三角形的边长=$6\sqrt{2}$-$\frac{12-x}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}（12+x）}{4}$．利用$\frac{\sqrt{2}}{2}$（12-x）=$\frac{\sqrt{2}（12+x）}{4}$．解得x，再利用体积计算公式即可得出．

解答 解：由题意可得：设裁去四个全等的等腰三角形的底边边长为x，则图（2）中的底面正方形的边长=$\frac{12-x}{2}×\sqrt{2}$，又图（3）中的等边三角形的边长=$6\sqrt{2}$-$\frac{12-x}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}（12+x）}{4}$．
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$（12-x）=$\frac{\sqrt{2}（12+x）}{4}$．
解得x=4．
∴正四棱锥的体积=$\frac{1}{3}×（4\sqrt{2}）^{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}×4\sqrt{2}$=$\frac{64\sqrt{6}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了空间位置关系、三视图、正四棱锥、等边三角形的性质、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．