Question

已知cos（

π

6

+α）•cos（

π

3

-α）=-

1

4

，α∈（

π

3

，

π

2

），求：
（Ⅰ）sin2α；
（Ⅱ）tanα-

1

tanα

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦可求得sin（2α+

π

3

）=-

1

2

，α∈（

π

3

，

π

2

）⇒2α+

π

3

∈（π，

4π

3

）⇒cos（2α+

π

3

）=-

3

2

，利用两角差的正弦即可求得sin2α的值；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）2α∈（

2π

3

，π），sin2α=

1

2

，可求得cos2α的值，从而可求得tanα-

1

tanα

的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵cos（

π

6

+α）•cos（

π

3

-α）=cos（

π

6

+α）•sin（

π

6

+α）=-

1

4

，…（2分）
即sin（2α+

π

3

）=-

1

2

，α∈（

π

3

，

π

2

），
故2α+

π

3

∈（π，

4π

3

），
∴cos（2α+

π

3

）=-

3

2

，…（5分）
∴sin2α=sin[（2α+

π

3

）-

π

3

]=sin（2α+

π

3

）cos

π

3

-cos（2α+

π

3

）sin

π

3

=

1

2

…（7分）
（Ⅱ）∵2α∈（

2π

3

，π），sin2α=

1

2

，
∴cos2α=-

3

2

，…（9分）
∴tanα-

1

tanα

=

sinα

cosα

-

cosα

sinα

=

sin2α-cos2α

sinαcosα

=

-2cos2α

sin2α

=-2•

- 3 2

1 2

=2

3

．    …（12分）

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查二倍角的正弦，两角差的正弦的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．