Question

已知二次函数y=f（x）经过点（1，20），其导函数f′（x）=4x-22．数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N₊）均在函数y=f（x）的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{|a_n|}前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列与函数的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用导数的性质，求出f（x）=2x²-22x+40，从而得到Sn=2n2-22n+40，由此能求出数列{a_n}通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到|an|=

24-4n，n≤6 4n-24，n≥7

，由此能求出数列{|a_n|}前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=4x-22，
∴f（x）=2x²-22x+c，
∵y=f（x）经过点（1，20），∴c=40，∴f（x）=2x²-22x+40．
∵数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N₊）均在函数y=f（x）的图象上，
∴Sn=2n2-22n+40，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-22n+40-2(n-1)2+22(n-1)-40
=4n-24，…（3分）
当n=1时，a₁=20
所以数列通项an=

20，n=1 4n-24，n≥2，n∈N+

．…（3分）
（Ⅱ）∵an=

20，n=1 4n-24，n≥2，n∈N+

，
∴|an|=

24-4n，n≤6 4n-24，n≥7

，
∴当n≤6时，Tn=

(20+24-4n)n

2

=n（22-2n）…（3分）
当n≥7时，Tn=T6+

(4+4n-24)(n-6)

2

=60+（2n-10）（n-6）=2n²-22n+120．
∴T_n=

n(22-2n)，n≤6 2n2-22n+120，n≥7

．（3分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．