已知等比数列{an}的首项a1=2015.数列{an}前n项和记为Sn.前n项积记为Tn．(1)若${S 3}=\frac{6045}{4}$.求等比数列{an}的公比q,的条件下.判断|Tn|与|Tn+1|的大小,并求n为何值时.Tn取得最大值,的条件下.证明:若数列{an}中的任意相邻三项按从小到大排列.则总可以使其成等差数列,若所有这些等差数列的公差按从小� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．已知等比数列{a_n}的首项a₁=2015，数列{a_n}前n项和记为S_n，前n项积记为T_n．
（1）若${S_3}=\frac{6045}{4}$，求等比数列{a_n}的公比q；
（2）在（1）的条件下，判断|T_n|与|T_n+1|的大小；并求n为何值时，T_n取得最大值；
（3）在（1）的条件下，证明：若数列{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列，则总可以使其
成等差数列；若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为d₁，d₂，…，d_n，则数列{d_n}为等比数列．

分析（1）运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q；
（2）求出|T_n+1|与|T_n|的商，讨论当n≤10时，当n≥11时，课比较大小；由T₁₀＜0，T₁₁＜0，T₉＞0，T₁₂＞0，即可得到n为何值时，T_n取得最大值；
（3）由等比数列{a_n}的通项公式，讨论①当k是奇数时，设{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列为a_k+1，a_k+2，a_k，②当k是偶数时，设{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列为a_k，a_k+2，a_k+1，计算化简即可得到它们成等差数列，求得公差，再由等比数列的定义，即可得证．

解答解：（1）等比数列{a_n}的首项a₁=2015，公比为q，
有${S_3}=2015（1+q+{q^2}）=\frac{6045}{4}$，即${q^2}+q+\frac{1}{4}=0$，解得$q=-\frac{1}{2}$；
（2）∵$\frac{{|{{T_{n+1}}}|}}{{|{T_n}|}}=\frac{{|{{a_1}•{a_2}…{a_n}•{a_{n+1}}}|}}{{|{{a_1}•{a_2}…{a_n}}|}}=|{{a_{n+1}}}|=\frac{2015}{2^n}$．
又∵$\frac{2015}{{{2^{11}}}}＜1＜\frac{2015}{{{2^{10}}}}$，∴当n≤10时，|T_n+1|＞|T_n|；
当n≥11时，|T_n+1|＜|T_n|．∴当n=11时，|T_n|取得最大值，
又∵T₁₀＜0，T₁₁＜0，T₉＞0，T₁₂＞0，∴T_n的最大值是T₉和T₁₂中的较大者，
又∵$\frac{{{T_{12}}}}{T_9}={a_{10}}•{a_{11}}•{a_{12}}={[{2015•{{（{-\frac{1}{2}}）}^{10}}}]^3}＞1$，∴T₁₂＞T₉．
因此当n=12时，T_n最大．
（3）证明：∵${a_n}=2015•{（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}$，∴|a_n|随n增大而减小，a_n奇数项均正，偶数项均负，
①当k是奇数时，设{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列为a_k+1，a_k+2，a_k，
则${a_{k+1}}+{a_k}={a_1}{（{-\frac{1}{2}}）^k}+{a_1}{（{-\frac{1}{2}}）^{k-1}}=\frac{a_1}{2^k}$，$2{a_{k+2}}=2{a_1}{（{-\frac{1}{2}}）^{k+1}}=\frac{a_1}{2^k}$，
∴a_k+1+a_k=2a_k+2，因此a_k+1，a_k+2，a_k成等差数列，
公差${d_k}={a_{k+2}}-{a_{k+1}}={a_1}[{{{（{-\frac{1}{2}}）}^{k+1}}-{{（{-\frac{1}{2}}）}^k}}]=\frac{{3{a_1}}}{{{2^{k+1}}}}$；
②当k是偶数时，设{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列为a_k，a_k+2，a_k+1，
则${a_{k+1}}+{a_k}={a_1}{（{-\frac{1}{2}}）^k}+{a_1}{（{-\frac{1}{2}}）^{k-1}}=-\frac{a_1}{2^k}$，$2{a_{k+2}}=2{a_1}{（{-\frac{1}{2}}）^{k+1}}=-\frac{a_1}{2^k}$．
∴a_k+1+a_k=2a_k+2，因此a_k，a_k+2，a_k+1成等差数列，
公差${d_k}={a_{k+2}}-{a_k}={a_1}[{{{（{-\frac{1}{2}}）}^{k+1}}-{{（{-\frac{1}{2}}）}^{k-1}}}]=\frac{{3{a_1}}}{{{2^{k+1}}}}$，
综上可知，{a_n}中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，
且${d_k}=\frac{{3{a_1}}}{{{2^{k+1}}}}$，∵$\frac{{{d_{n-1}}}}{d_n}=2$，∴数列{d_n}为首项为$\frac{3}{4}$a₁，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．

点评本题考查等比数列的定义和通项公式的运用，以及等差数列的中项，考查数列的单调性的运用，以及分类讨论思想和运算能力，属于中档题．

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