Question

设正实数a，b满足a+b=2，则

1

a

+

a

8b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：导数的综合应用

分析：由a+b=2，可得b=2-a＞0，0＜a＜2．代入

1

a

+

a

8b

=

1

a

+

a

8(2-a)

=f（a），利用导数研究其单调性极值最值即可．

解答： 解：∵正实数a，b满足a+b=2，
∴b=2-a＞0，
∴0＜a＜2．
∴

1

a

+

a

8b

=

1

a

+

a

8(2-a)

=

1

a

+

2-(2-a)

8(2-a)

=

1

a

+

1

4(2-a)

-

1

8

=f（a），
则f′(a)=-

1

a2

+

1

4(2-a)2

=

(4-a)(3a-4)

4a2(2-a)2

，
令f′（a）=0，解得a=

4

3

．
当0＜a＜

4

3

时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减；当

4

3

＜a＜2时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增．
因此当a=

4

3

时，函数f（a）取得极小值即最小值，f(

4

3

)=

1

4 3

+

1

4(2- 4 3 )

-

1

8

=

3

4

+

3

8

-

1

8

=1．
故答案为：1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，属于中档题．