Question

10．实系数一元二次方程x²+ax+b=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，则$\frac{2-b}{2-a}$的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{2}{3}$）
• B． （-∞，$\frac{2}{3}$）
• C． （$\frac{2}{3}$，2）
• D． $（\frac{2}{3}，+∞）$

Answer 1

分析 利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得a、b满足的条件，画出它的可行域，而$\frac{2-b}{2-a}$表示可行域内的点与点M（2，2）连线的斜率，数形结合可得$\frac{2-b}{2-a}$的取值范围．

解答 解：∵实系数一元二次方程x²+ax+b=0的一个根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b＞0}\\{f（1）=1+a+b＜0}\\{f（2）=4+2a+b＞0}\end{array}\right.$，画出它的可行域，如图所示：△ABC的内部．
而$\frac{2-b}{2-a}$表示可行域内的点与点M（2，2）连线的斜率，
而直线MA的斜率为0，直线MB的斜率为$\frac{2-0}{2+1}$=$\frac{2}{3}$，
故$\frac{2-b}{2-a}$的取值范围是（0，$\frac{2}{3}$），
故选：A．

点评 本题主要考查实系数一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，直线的斜率公式，简单的线性规划问题，属于中档题．