Question

18．非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{b}$|，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的大小为（　　）

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，求得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值，可得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角．

解答 解：设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的大小为θ，则θ∈[0，π]，∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{b}$|，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$），
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+3${\overrightarrow{b}}^{2}$=3${|\overrightarrow{b}|}^{2}$-4$\sqrt{3}$${|\overrightarrow{b}|}^{2}$•cosθ+3${|\overrightarrow{b}|}^{2}$=0，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=$\frac{π}{6}$，
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量数量积的定义，属于基础题．