Question

已知定义域为R的函数f(x)为奇函数，且满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2^x－1.

(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式；

(2)求f(log24)的值．

Answer 1

 (1)令x∈[－1,0)，则－x∈(0,1]，

∴f(－x)＝2^－x－1.又∵f(x)是奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)，

∴－f(x)＝f(－x)＝2^－x－1，

∴f(x)＝－^x＋1.

(2)∵log24＝－log₂24∈(－5，－4)，

∴log24＋4∈(－1,0)，

∵f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

∴f(x)是以4为周期的周期函数，

∴f(log24)＝f(log24＋4)

＝－^log24＋4＋1

＝－24×＋1＝－.