Question

是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x²＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

∵Δ＝(3a－2)²－4(a－1)>0，

∴若存在实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．

f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)

＝4(1－a)(5a＋1)≤0.

所以a≤－或a≥1.检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.

所以f(x)＝x²＋x.令f(x)＝0，

即x²＋x＝0，得x＝0或x＝－1.

方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.

②当f(3)＝0时，a＝－，此时f(x)＝x²－x－，

令f(x)＝0，即x²－x－＝0，

解之得x＝－或x＝3.

方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.

综上所述，a<－或a>1.