Question

如图所示，两定点A（-6，0），B（2，0），O为坐标原点，动点P对线段AO，BO所张的角相等（即∠APO=∠BPO），求动点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：设动点P（x，y），由∠APO=∠BPO，根据角平分线定理得

|PA|

|PB|

=3列出等式，化简整理即得．但应注意曲线上的点与方程的解对应的点是否一一对应．

解答： 解：如图，
设动点P（x，y），由动点P对线段AO、OB所张角相等，得∠APO=∠BPO，
由角平分线定理，得

|PA|

|PB|

=

|AO|

|BO|

．
∴

(x+6)2+y2

(x-2)2+y2

=3．整理得x²+y²-6x=0．
由方程可知圆过原点，但当P和原点重合时无意义，∴x≠0．
∴所求方程为x²+y²-6x=0（x≠0）．
又由题意可知P点落在x轴上除线段AB以外的任何点处均有∠APO=∠BPO=0°，
∴又有方程y=0（x＜-6或x＞2）．
故动点P的轨迹方程为x²+y²-6x=0（x≠0）或y=0（x＜-6或x＞2）．

点评：求轨迹方程时经常遇到“去”和“补”的问题，当所求的方程包括不合题意的点时，必须去掉，当所求的方程不含其他合乎条件的点时，必须补出来，此题是中档题．