Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱长为

3

，侧棱CC₁⊥底面ABC，D是AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2）求二面角D-BC₁-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）欲证AB₁∥平面BC₁D，只需证明AB₁平行平面BC₁D中的一条直线，利用三角形的中位线平行与第三边，构造一个三角形AB1C，使AB₁成为这个三角形中的边，而中位线OD恰好在平面BC₁D上，就可得到结论．
（2）建系D-xyz，分别求出平面BC₁D和平面BCC₁的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答： 证明：（1）连接B₁C，设B₁C与BC₁相交于点O，连接OD，

∵四边形BCC₁B是平行四边形，
∴点O为B₁C的中点，
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB₁C的中位线，
∴OD∥AB₁，
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D …（5分）
解：（2）建系D-xyz如图．

由题意可知：D（0，0，0），C（1，0，0），B（0，

3

，0），C₁（1，0，

3

），则

DC1

=（1，0，

3

），

DB

=（0，

3

，0），

CC1

=（0，0，

3

），

CB

=（-1，

3

，0），
设平面BC₁D和平面BCC₁的法向量分别为：

m

=（x，y，z），

n

=（a，b，c），
则

DC1 • m =0 DB  • m =0

，即

x+ 3 z=0 3 y=0

，令x=

3

，则：

m

=（

3

，0，-1），

CC1 • n =0 CB  • n =0

，即

3 c=0 -a+ 3 b=0

，令a=

3

，则：

n

=（

3

，1，0），
故二面角D-BC₁-C的平面角θ的余弦值cosθ=

| m • n |

| m |•| n |

=

3

4

点评：本题考察了线面平行判定定理的应用和二面角的作法和求法，解决二面角问题关键是要转化为向量夹角问题．