题目内容
以原点为圆心的两个同心圆的方程分别为x2+y2=4和x2+y2=1，过原点O的射线交大圆于点P，交小圆于点Q，作PM⊥x轴于M，若| PN |
| PM |
| QN |
| PM |
（1）求点N的轨迹方程；
（2）过点A（-3，0）的直线l与（1）中的点N的轨迹交于E，F两点，设B（1，0），求
| BE |
| BF |
考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算
专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）设P（2cosa，2sina），Q（cosa，sina）；则由题意可得N（2cosa，sina），从而求点N的轨迹方程；
（2）联立方程
，从而可得（4k2+1）x2+24k2x+36k2-4=0，由△＞0解得k2＜
；再利用韦达定理可得x1+x2=
，x1x2=
；从而化简
•
=x1x2-（x1+x2）+y1y2即可得到取值范围．
（2）联立方程
|
| 1 |
| 5 |
| 24k2 |
| 4k2+1 |
| 36k2-1 |
| 4k2+1 |
| BE |
| BF |
解答：
解：（1）设P（2cosa，2sina），Q（cosa，sina）；
由
=λ
知N在PM上，由
•
=0知QN⊥PM；
∴N（2cosa，sina），
故点N的轨迹方程为
+y2=1；
（2）由题意可知，斜率显然存在，
联立方程
，
即（4k2+1）x2+24k2x+36k2-4=0，
由△＞0解得，k2＜
；
x1+x2=
，x1x2=
；
故
•
=x1x2-（x1+x2）+y1y2
=x1x2-（x1+x2）+k2[x1x2+3（x1+x2）+9]
=
+9k2+1
=
（1-
），
∵0≤k2＜
，
∴
•
∈[-3，6）．
由
| PN |
| PM |
| QN |
| PM |
∴N（2cosa，sina），
故点N的轨迹方程为
| x2 |
| 4 |
（2）由题意可知，斜率显然存在，
联立方程
|
即（4k2+1）x2+24k2x+36k2-4=0，
由△＞0解得，k2＜
| 1 |
| 5 |
x1+x2=
| 24k2 |
| 4k2+1 |
| 36k2-1 |
| 4k2+1 |
故
| BE |
| BF |
=x1x2-（x1+x2）+k2[x1x2+3（x1+x2）+9]
=
| 4(k2+1)(9k2-1)+(3k2-1)(-24k2) |
| 4k2+1 |
=
| 69 |
| 4 |
| 27 | ||
92(k2+
|
∵0≤k2＜
| 1 |
| 5 |
∴
| BE |
| BF |
点评：本题考查了直线与圆，与椭圆的位置关系的应用，同时考查了平面向量的应用及志韦达定理等，属于中档题．
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在△ABC中，A=
且三个内角的正弦值成等比数列，则其最小角的正弦值（ ）
| π |
| 2 |
A、
| ||||||
B、
| ||||||
C、
| ||||||
D、
|
已知数列{an}是等比数列，若a2a3a4=64，
=16，则（
）-2×2-3-（a5）
=（ ）
| a6a8 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| A、4 | ||
| B、0 | ||
| C、0或-4 | ||
D、-
|
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．