Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，

m

=（cosA，cosC），

n

=（

3

c-2b，

3

a），且

m

⊥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）若a=b，且BC边上的中线AM的长为

7

，求边a的值．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）通过向量的数量积以及正弦定理两角和与差的三角函数，求出A的余弦函数值，即可求角A的大小；
（2）通过a=b，利用余弦定理，结合BC边上的中线AM的长为

7

，即可求出边a的值

解答： （本题12分）
解：（1）由

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=0
（2b-

3

c）cosA=

3

acosC   …（2分）
所以（2sinB-

3

sinC）cosA=

3

sinAcosC     …（4分）
∴2sinBcosA=

3

sin(A+C)，
则2sinBcosA=

3

sinB       …（6分）
所以cosA=

3

2

，于是A=

π

6

       …（8分）
（2）由（1）知A=

π

6

，又a=b，所以C=

2π

3

      （9分）
设AC=x，则MC=

1

2

x，AM=

7

，在△AMC中，由余弦定理得
 AC²+MC²-2AC•MCcosC=AM²        …（11分）
即x²+（

x

2

）²-2x•

x

2

cos

2π

3

=(

7

)2，
解得x=2，即a=2…（12分）

点评：本题考查余弦定理的应用，向量的数量积的应用，三角形的解法，考查计算能力．