Question

15．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1-|{1-x}|，x∈（{-∞，2}）\\ 3f（{x-2}），x∈[2，+∞）\end{array}$，则函数g（x）=f（x）-cosπx在区间[0，8]内所有零点的和为（　　）

• A． 16
• B． 30
• C． 32
• D． 40

Answer 1

分析 在同一个坐标系中作出函数f（x）和y=cosπx的图象，由图象的局部对称可得结果．

解答 解：
当0≤x≤1时，f（x）=x，
当1＜x＜2时，f（x）=-x+2，
当2≤x≤3时，f（x）=3f（x-2）=3（x-2），
当3＜x＜4时，f（x）=3f（x-2）=3[-（x-2）+2]=-3（x-4），
当4≤x≤5时，f（x）=3f（x-2）=3（3x-6）=9（x-2），
当5＜x＜6时，f（x）=3f（x-2）=-9（x-6），当6≤x≤7时，f（x）=3f（x-2）=27（x-6），当7＜x≤8时，f（x）=-27（x-8），在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y=cosπx的图象，如图：

由图可知点A，B关于x=1对称，点C，D关于x=3对称，点E，F关于x=5对称，点G，H关于x=7对称，
设A，B，C，D，E，F，G，H的横坐标分别为a，b，c，d，e，f，g，h，则a+b=2，c+d=6，e+f=10，g+h=14，
∴a+b+c+d+e+f+g+h=32．
故选：C．

点评 本题考查函数零点与方程的根以及函数图象的关系．解题关键在于正确作出函数图象，利用对称性求解．属于较难题．